第一章 行列式

 

一、基础知识

基本定义

定义 1.1 行列式

$n$ $n$ 阶行列式

是所有取自不同行不同列的 $n$ $n$ 个元素的乘积 $a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$ $a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{nj_{n}}$ 的代数和，$j_1,j_2,\cdots ,j_n$ $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ 是 $1,2,\cdots ,n$ $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列，当为偶排列为正，奇排列为负，即

公式（1.1）称为 $n$ $n$ 阶行列式的 完全展开式.

其中 $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$ $\tau (j_1j_2\cdots j_n)$ 为求序列 $j_1{j}_2\cdots j_n$ $j_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数.

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定义 1.2 余子式、代数余子式

在 $n$ $n$ 阶行列式

中划去元素 $a_{ij}$ $a_{ij}$ 所在的第 $i$ $i$ 行、 第 $j$ $j$ 列 ，由剩下的元素按照原来排法构成一个 $n-1$ $n-1$ 阶的行列式（下列公式不包含 $i、j=1orn$ $i、j = 1\; or \;n$ ）.

称为 $a_{ij}$ $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ $M_{ij}$ ; 称 $(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ $A_{ij}$ , 即

二、重要定理

定理 1.1 行列式按第 $k$ $k$ 行的展开公式

$n$ $n$ 阶行列式

等于它的任意一行的所有元素与它们各自的代数余子式乘积之和，即

公式（1.3）称为行列式按第 $k$ $k$ 行的展开公式

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定理 1.1' 行列式按第 $k$ $k$ 列的展开公式

$D$ $D$ 等于它的任意一列的所有元素与它们各自的代数余子式乘积之和，即

公式（1.3）称为行列式按第 $k$ $k$ 列的展开公式

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定理 1.2

设 $n$ $n$ 阶行列式

元素 $a_{ij}$ $a_{ij}$ 的代数余子式为 $A_{ij}$ $A_{ij}$ ,

当 $i\ne k(i,k=1,2,\cdots ,n)$ $i \neq k(i,k=1,2,\cdots ,n)$ 时，有

当 $j\ne k(j,k=1,2,\cdots ,n)$ $j \neq k(j,k=1,2,\cdots ,n)$ 时，有

三、主要公式

1. 上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积

   $$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{c}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\prod _{i=1}^n{a}_{ii}\end{array}\end{array}$$

2. 关于副对角线的行列式

   $$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{c}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,n-1}& a_{nn}\end{array}\right|\end{array}\end{array}$$

    

   $$\begin{array}{}\text{(14)}& \text{上}\text{式}=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n,1}\end{array}$$

3. 两个特殊位置的拉普拉斯展开式

   $$\begin{array}{}\text{(15)}& \begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ \ast & B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|\end{array}\end{array}$$
   $$\begin{array}{}\text{(16)}& \begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A|\cdot |B|\end{array}\end{array}$$

   $m$ $m$, $n$ $n$ 分别是矩阵 $A$ $A$, $B$ $B$ 的阶数.

4. 范德蒙行列式

   $$\begin{array}{}\text{(17)}& \begin{array}{c}\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{(n-1)}& x_2^{(n-1)}& \cdots & x_n^{(n-1)}\end{array}\right|=\prod _{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)\end{array}\end{array}$$

5. 特征多项式 涉及矩阵过

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方阵的行列式

pass

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克拉默法则

若 $n$ $n$ 个方程 $n$ $n$ 个未知数的线性方程组

的系数行列式

有唯一解

其中$\begin{array}{c}{D}_j=\sum _{i=1}^n{b}_i{A}_{ij}=\left|\begin{array}{cccccccc}& a_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ & a_{21}& \cdots & a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& \cdots & a_{2n}\\ & ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ & a_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\end{array}\right|(j=1,2,\cdots ,n)\end{array}$ $D_j = \sum_{i=1}^{n}b_iA_{ij}=\left|\begin{array}{cccc} &#038;a_{11} &#038;\cdots &#038;a_{1,j-1} &#038; b_1 &#038;a_{1,j+1} &#038;\cdots &#038;a_{1n}\\ &#038;a_{21} &#038;\cdots &#038;a_{2,j-1} &#038;b_2 &#038;a_{2,j+1} &#038;\cdots &#038;a_{2n}\\ &#038;\vdots &#038; &#038;\vdots &#038;\vdots &#038;\vdots &#038; &#038;\vdots\\&#038;a_{11} &#038;\cdots &#038;a_{1,j-1} &#038; b_1 &#038;a_{1,j+1} &#038;\cdots &#038;a_{1n}\\ \end{array}\right|(j=1,2,\cdots,n)$

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推论1 若齐次线性方程组

的系数行列式不为0，则方程组只有零解.

推论2 若齐次线性方程

有非零解，则系数行列式 $|A|=0$ $|A| = 0$ .